Фамилия Пивняков в своей основе содержит слово «пивень» — так в южных и западных говорах называли пивовара или, реже, любителя пива. В украинском и белорусском языках «пивень» (звучит как «пывэнь») — это и есть пивовар, человек, который варит пиво. Таким образом, родоначальник фамилии мог заниматься этим ремеслом: держать пивоварню, торговать хмельным напитком или быть мастером на пивном производстве.

Модель образования простая: к основе «пивняк» (вариант «пивень» с суффиксом -як, который в украинской традиции указывает на лицо по занятию) добавили русский патронимический суффикс -ов. Получился «Пивняков» — буквально «сын Пивняка». Суффикс -як встречается в фамилиях украинского происхождения (сравните: Шевчук — Шевченко, но и Сотник — Сотняков), и здесь он указывает на южнорусские или малороссийские корни фамилии.

Географически фамилия тяготеет к регионам, где исторически было развито пивоварение: юг России, Украина, Белоруссия. В переписях и архивных записях XIX века Пивняковы встречаются в Курской, Воронежской, Харьковской губерниях. В центральной России и на севере фамилия редка — там предпочитали называть пивоваров иначе (например, «Пивоваров»).

В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» эта модель не разбирается отдельно, но принцип ясен: прозвище по ремеслу, перешедшее в фамилию. Никакой особой тайны или спорных версий здесь нет — корень прозрачный, а суффикс лишь уточняет региональное происхождение. Если вы встретите однокоренные фамилии вроде Пивняк или Пивнев, это, скорее всего, варианты без русского патронимического окончания, сохранившие исходную форму прозвища.