Фамилия Побережий — редкий пример фамилии, образованной не от существительного в именительном падеже, а от формы предложного падежа: «на побережье». Это сразу говорит о том, что перед нами не типичная «географическая» фамилия вроде Побережного или Побережского, а более конкретное прозвище, закреплённое в письменном виде.

Основа фамилии — нарицательное «побережье» (береговая полоса, прибрежная местность). Суффикс -ий в данном случае выполняет роль адъективного окончания, превращая пространственную характеристику в фамилию-прилагательное. По словообразовательной модели это близко к фамилиям типа Задорожний, Межгорный, Прилуцкий — все они указывают на место жительства или происхождения человека.

Вероятнее всего, первый носитель фамилии Побережий получил прозвище «Побережье» или «Побережий» потому, что жил у моря, озера или крупной реки. В условиях, когда большинство крестьянских фамилий в XIX веке фиксировались по названию деревни или по роду занятий, такое прозвище было прямым указанием на ландшафтную привязку. Если бы человек жил не на самом берегу, а на возвышенности у воды, его могли назвать Нагорным или Пригорским — здесь же акцент именно на близости к водной границе.

Фамилия Побережий встречается преимущественно в западных и южных регионах бывшей Российской империи: на Украине, в Беларуси, а также среди казачества Кубани и Дона. Это объясняется тем, что суффикс -ий вместо привычного -ый или -ой характерен для украинской и белорусской ономастики (сравните: Шевченко, Ткаченко — но Побережий, а не Побережный). В русских говорах такая форма встречается реже, чаще как Побережнов или Побережский.

С точки зрения социального статуса, фамилия Побережий могла принадлежать как крестьянину, так и казаку или мещанину. В казачьей среде прозвища по месту жительства были особенно распространены, поскольку казаки часто селились станицами вдоль рек. Однако документальных подтверждений о дворянском происхождении этой фамилии нет — она оставалась в основном простонародной.

В современном русском языке фамилия склоняется как прилагательное: Побережий, Побережего, Побережему и так далее. Встречаются варианты написания с одной «ж» (Побережий) и с двумя (Побережжий) — второй вариант обычно результат орфографической ошибки, так как исходное слово «побережье» пишется через одно «ж». Если ваша фамилия именно Побережий, то её корень — «берег», а приставка «по-» и суффикс «-ий» указывают на то, что предки жили у воды, вероятно, на юге или западе России.