Фамилия Подаваев — редкий случай, когда в основе лежит не имя и не профессия, а глагол, причём с ярко выраженной бытовой окраской. Разбираем её по косточкам.

Корень здесь — «подава-» от глагола «подавать». Суффикс «-ев» указывает на принадлежность: Подаваев буквально означает «сын Подавая» или «из рода Подавая». А вот само прозвище Подавай могло возникнуть в двух совершенно разных ситуациях, и обе одинаково правдоподобны.

Первая версия — прозвище по действию. В русских говорах «подавай» — это повелительное наклонение, которое могло закрепиться за человеком, который постоянно что-то подавал: на стол, за столом, на строительстве или в кузне. Подносчик, помощник, расторопный слуга — не обязательно холоп, мог быть и младший член артели. Такие «глагольные» прозвища (вроде Сгибнев, Держись, Непейвода) давали за характерную привычку или занятие.

Вторая, более интересная версия — прозвище-пожелание. В старину ребёнку могли дать имя-оберег, в котором звучал призыв: «Подавай!» — то есть пусть он будет щедрым, удачливым, чтобы ему подавали, или чтобы он сам легко отдавал. Это не имя в церковном смысле, а мирское прозвище, которое потом закрепилось как фамилия.

В ономастических справочниках фамилия Подаваев нечастотна. Она почти не встречается в центральных губерниях, но есть следы на юге России и в Поволжье — там, где активнее бытовали «глагольные» фамилии. В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» модель «основа-императив + -ов» описана как характерная для северных и восточных регионов, но Подаваев туда вписывается с оговоркой: он мог возникнуть и на юге, под влиянием украинской традиции (ср. Подайко, Подавайло).

Интересно, что фамилия не перешла в форму «Подавайкин» или «Подавайский» — значит, её носители не принадлежали к духовенству или дворянству, где были в ходу суффиксы «-ский» и «-ин». Подаваевы — скорее всего, выходцы из крестьян или посадских людей, где прозвище цеплялось крепко и переходило в фамилию без изменений.

Подытожим: Подаваев — это фамилия-команда, фамилия-жест. Она могла означать либо человека, который постоянно что-то подавал, либо того, кому желали щедрой доли. В любом случае, перед нами не книжная, а живая, разговорная основа, которая сохранила в себе бытовую сценку из жизни предков.