Фамилия Подоспеева хранит в себе сразу два возможных объяснения, и оба связаны с действием и скоростью. В её основе лежит глагол «поспеть» — успеть, прийти вовремя. Приставка «подо-» усиливает значение приближения: «подоспеть» значит явиться в нужный момент, оказаться рядом, когда требуется помощь. Первым носителем фамилии, скорее всего, был человек, получивший прозвище Подоспей — так могли назвать расторопного, пунктуального работника или того, кто всегда приходил на выручку. В русских говорах такие прозвища давали не в насмешку, а как меткую характеристику.

По словообразовательной модели фамилия относится к типичному для русского севера и центра способу: основа «Подоспе(й)» плюс суффикс принадлежности «-ев», который указывал на потомка: «чей?» — Подоспеев. Женская форма Подоспеева образована по тому же правилу. Суффикс «-ев», а не «-ов», появляется после мягкого согласного или «й» в конце основы — в данном случае после «й», который в написании исчез, но в произношении остался (Подоспеj-ев).

Интересно, что фамилия довольно редкая и имеет чёткую географическую привязку. Основной ареал бытования — северные и центральные регионы России, особенно Архангельская, Вологодская и Кировская области. Встречается она и в старообрядческой среде, что подтверждается записями в метрических книгах некоторых поморских общин. Это не случайно: в среде староверов часто сохранялись фамилии, образованные от «говорящих» прозвищ, без позднейших книжных искажений.

Есть и вторая, менее вероятная версия: связь с диалектным словом «подоспева» — так в некоторых местах называли вторую, более позднюю жатву или отаву на лугах. Тогда прозвище могло достаться крестьянину, который косил или убирал урожай во второй раз, «подоспевал» к поздним работам. Но эта гипотеза уступает первой по распространённости: в ономастических словарях фамилию традиционно возводят к глаголу «подоспеть» и личному имени-прозвищу Подоспей.

Сословно предки Подоспеевых, судя по архивным данным, относились к государственным крестьянам и мещанам. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано. В ревизских сказках XVIII–XIX веков встречаются крестьяне Подоспеевы в Шенкурском и Холмогорском уездах Архангельской губернии — там фамилия держится до сих пор. Если ваши корни оттуда, то, скорее всего, предки были людьми надёжными и не подводили в срок.