Фамилия Погрешаева — редкий случай, когда в основе лежит не прозвище и не профессия, а, скорее всего, устойчивое выражение или даже иноязычное имя. Первое, что бросается в глаза: суффикс «-аев» (разговорный вариант «-ев») указывает на принадлежность по отцу. То есть Погрешаев — сын Погрешая, а Погрешаева — женская форма от той же основы.

Корень «-греш-» напрямую отсылает к слову «грех». Но не спешите думать, что предка прозвали «грешником». Скорее, прозвище Погрешай (или Погреша) могли дать человеку, который постоянно «погрешал» против правил, норм или ожиданий — то есть был озорником, нарушителем спокойствия, человеком, от которого ждали «грешка». В русских говорах глагол «погрешать» имел и более мягкое значение — «ошибаться», «промахнуться». Так могли назвать и незлого, но неловкого или неудачливого человека.

Есть и вторая, менее очевидная версия: фамилия могла возникнуть из искажённого крестильного имени. Например, редкое имя Погресий (от греческого «погресис» — «знание», «понимание») в народном произношении легко превращалось в Погрешай. В этом случае фамилия теряет «греховный» оттенок и становится просто «сыном Погресия».

Географически фамилия тяготеет к центральным и южным регионам России, где суффикс «-аев» встречается чаще, чем на севере. Встречается она нечасто, что говорит о локальном происхождении — возможно, от конкретного прозвища в одном селе или от имени конкретного переселенца. Никакой знати или дворянства за этой фамилией не числится, её носители — скорее всего, крестьяне или мещане, получившие фамилию по отцу в XIX веке при общей паспортизации.

Таким образом, Погрешаев — это либо «сын озорника», либо «сын Погресия». Первая версия кажется более живой и объяснимой без обращения к редким святцам, но окончательный ответ даст только семейная история: если в роду передаётся предание о неугомонном предке, значит, корень именно в прозвище.