Фамилия Погреева — женская форма фамилии Погреев, а та, в свою очередь, образована от прозвища или мирского имени Погрей. Эта модель — суффикс -ев, присоединённый к основе, оканчивающейся на согласный (здесь на «й»), — в русской ономастике одна из самых распространённых. Но сам корень «погрей» нестандартный, и его значение уводит нас в быт и поверья Древней Руси.

Вероятнее всего, Погреем называли человека, который любил тепло, мерзляка или того, кто постоянно искал место у печи. В крестьянской среде, где холод был постоянной проблемой, такое прозвище давали либо ребёнку, родившемуся в лютый мороз, либо взрослому, который не выносил стужи. В словаре русских народных говоров встречается глагол «погреться» в прямом значении, но прозвище могло быть и ироничным — для человека, который, наоборот, ходил легко одетым и как будто не чувствовал холода, отсюда и насмешливое «погрейся, мол».

Менее вероятная, но возможная версия связывает фамилию с диалектным словом «погрей» в значении «оттепель» или «короткое потепление». Тогда прозвище могли дать по времени рождения: ребёнок, появившийся на свет в неожиданный тёплый день среди зимы. Такие «календарные» прозвища были в ходу, хотя и реже, чем бытовые.

Географически фамилия Погреева тяготеет к центральным и северным областям России — там, где холодный климат делал тему тепла особенно актуальной. Встречается она нечасто, что говорит о локальном происхождении: скорее всего, родоначальник жил в одной деревне или волости, и фамилия не распространилась широко. В дореволюционных метрических книгах и ревизских сказках Погреевы фиксируются в основном среди крестьян и мещан, то есть сословный потолок здесь невысок — типичная «низовая» фамилия, образованная от бытового прозвища без претензии на дворянство.

С точки зрения словообразования, интересно, что основа «погрей» — чистая глагольная форма повелительного наклонения (как в фамилиях Трубицын, Живихин, Берегин). Такие прозвища-приказы давали не столько за характер, сколько за привычку или случай: «Погрей» могло означать не только «мерзляк», но и «тот, кто постоянно просит погреть руки» или «работник у печи». В любом случае, носитель фамилии Погреев — потомок человека, чья связь с теплом была настолько заметной, что закрепилась в родовом имени.