Фамилия Погреев не самая распространённая, но её происхождение прослеживается довольно чётко. В основе лежит прозвище или нецерковное имя Погрей, которое, в свою очередь, связано с глаголом «греть» и приставкой «по-». Скорее всего, так в старину могли назвать человека, который «погревал» руки у печи, то есть любил тепло, не выносил холода, или же того, кто постоянно зябнул и кутался. В более широком смысле — это человек, который ищет, где погреться, или даже ленивый, предпочитающий сидеть у очага работе на морозе.

Суффикс «-ев» указывает на типичную русскую патронимическую модель: Погреев — это «сын Погрея». Такая форма характерна для фамилий, образованных от прозвищ или имён, оканчивающихся на мягкий согласный или «й» (в родительном падеже — Погрея, отсюда и Погреев). Если бы основа звучала как «Погрый», то фамилия была бы Погров, но мы видим именно «-еев», что закрепляет исходную форму Погрей.

Интересно, что фамилия Погреев не связана с именем Григорий (от которого пошли Григорьевы, Гришины) и не имеет отношения к «грехам» или «грекам». Это бытовое, «печное» прозвище, каких много в русской ономастике: Печников, Запечный, Истопников. Встречается фамилия преимущественно в центральных регионах России и в Поволжье, но не имеет ярко выраженной географической привязки к одному уезду — носители рассеяны, что говорит о давнем возникновении прозвища в разных местах.

Версия о том, что фамилия произошла от слова «погреб» (подвал), маловероятна. В этом случае мы бы имели дело с формой Погребов или Погребной, а не Погреев. Фонетически «погрей» и «погреб» далёкие, и путать их стали бы только в поздних переписях при ошибках писаря, но массового перехода не было. Таким образом, основная и самая правдоподобная версия — прозвище по отношению к теплу, к очагу.