Фамилия Полинкин — редкий случай, когда привычный суффикс -ин может обмануть. На первый взгляд кажется, что перед нами типичная «матронимическая» фамилия, образованная от женского имени Полина. Но это лишь одна, и не самая вероятная, версия.

Главная сложность в том, что основа «Полинк-» не заканчивается на гласную, как в случае с именем Полина (Полин + ин). Суффикс -ин обычно присоединяется к основам на -а, -я. Здесь же мы видим суффикс -к- (уменьшительный) и далее -ин. Прямая цепочка «Полина → Полинкин» грамматически возможна, но звучит натянуто: скорее бы появилась фамилия Полинин. Гораздо логичнее предположить, что в основе лежит прозвище или мирское имя.

Самая убедительная версия: Полинка — это не уменьшительное от Полины, а самостоятельное прозвище. В русских говорах, особенно в центральных и южных областях, «полинка» могла означать «полено», «чурка», «короткое бревно». Прозвище Полинка могли дать человеку плотного, коренастого телосложения, либо, напротив, неуклюжему, «деревянному» в движениях. Сравните с фамилиями Палкин, Бревнов, Чуркин — все они из того же «дровяного» ряда. В этом случае фамилия Полинкин — это «сын Полинки», то есть потомок человека с таким прозвищем.

Менее распространённая, но не исключённая версия — связь с диалектным глаголом «полинкать» (кричать, перекликаться). Тогда прозвище Полинка мог получить крикливый человек или запевала. Однако эта гипотеза слабее, так как глагол редкий и локальный.

Географически фамилия Полинкин встречается в основном в центральной России, в Поволжье и на Урале. Это указывает на её позднее формирование в среде крестьян и мещан, когда фамилии давали по прозвищам, а не по имени отца. Сословный состав носителей — почти исключительно крестьянство, что подтверждает прозвищное происхождение: в дворянской среде фамилии на -ин чаще образовывались от полных канонических имён.

Таким образом, если ваши предки — Полинкины, скорее всего, родоначальник получил уличное прозвище за внешность или манеру поведения, а не по имени матери. Фамилия сохранила память о бытовом, живом языке русской деревни, где «полинка» была не цветком, а чуркой.