Фамилия Полижаев — редкий случай, когда прозвище, лёгшее в основу, почти наверняка связано с конкретным диалектным словом, а не с именем или профессией. В большинстве русских фамилий на -аев отчество образовано от имени или прозвища на -ай: Полижай — это и есть исходная форма. Что она означала? В южнорусских и украинских говорах «полижай» — человек, который «полижает», то есть подлизывается, льстит, угодничает. Глагол «лизать» с приставкой по- давал значение «немного, слегка лизать», а в переносном смысле — «заискивать, льстить». Так могли прозвать не обязательно подхалима, а скорее ловкого, умеющего найти подход к людям человека.

Суффикс -аев указывает на патронимическую модель: Полижай → сын Полижая → Полижаев. Форма на -аев, а не на -ев, говорит о том, что в основе лежит слово с окончанием на -ай, а не на -ей. Это типично для фамилий, образованных от прозвищ, а не от церковных имён (сравните с Можаев, Шамаев). Поскольку фамилия редкая, её география узкая: по данным современных переписей, Полижаевы встречаются в основном в Воронежской и Ростовской областях, а также на Кубани — то есть как раз в зоне бытования южнорусского диалекта, где слово «полижай» было в ходу.

Иногда фамилию пытаются связать с польским «polizać» (лизать) или с личным именем Полиевкт (в народной форме Полий), но это натяжки. Польское влияние маловероятно для фамилии с типично русским суффиксом -аев, а имя Полиевкт дало бы форму Полиевктов или, в просторечии, Полиевков. Версия с прозвищем «полижай» — самая прямая и этимологически прозрачная, без лишних допущений.

В написании фамилии важно не путать с похожей, но самостоятельной фамилией Полижаевский — та образована от названия населённого пункта (Полижаево или Полижаи) и имеет иной суффикс. Вариант Полижаев — чисто прозвищный, без топонимической примеси. Если ваш предок носил такое прозвище, он, скорее всего, был человеком общительным и неглупым, умевшим добиваться своего не силой, а словом.