Фамилия Полижайкин — наглядный пример того, как в русской фамилии может застыть неочевидное на первый взгляд прозвище. В её основе почти наверняка лежит не имя, а глагол «полизать» или «полизывать». Суффикс -айк- в русских фамилиях встречается нечасто, но он характерен для прозвищ, образованных от глагольных форм: он указывает на деятеля, на человека, который постоянно совершает определённое действие. Сравните: «забияка» (от «забить»), «гуляка» (от «гулять»), «кривляка» (от «кривляться»). Полижайка — тот, кто «полизывает», то есть, вероятно, человек с соответствующей манерой поведения или привычкой.

Что конкретно могло стоять за таким прозвищем? Самый прямой вариант — насмешливое именование подлизы, льстеца, того, кто «лижет» начальству. В русских говорах слово «лизать» имело и переносное значение «угодничать, льстить», и фамилии вроде Лизакин, Лизунов, Подлизкин — не редкость. Полижайкин — из того же ряда, но с приставкой по-, которая могла усиливать значение («изрядно подлизывающий») или указывать на завершённость действия («полизавший» однажды и запомнившийся этим).

Менее вероятна, но возможна версия, связывающая фамилию с ремеслом или бытовой деталью. Полижайкой могли в шутку назвать человека, который часто облизывал ложку или пальцы, — например, лакомку или того, кто пробовал еду. В словаре В. И. Даля зафиксирован глагол «полизать» в прямом смысле, а также слово «полиза» — так могли назвать ненасытного, жадного до еды человека.

Географически фамилия тяготеет к центральным и восточным регионам России. Встречается она нечасто, что подтверждает её происхождение из локального прозвища, а не из крестильного имени. Суффикс -ин (а не -ов) указывает на принадлежность: «чей?» — Полижайкин, то есть сын или потомок Полижайки. Сословные перегородки здесь не играли роли: такую фамилию мог получить и крестьянин, и мещанин, и служилый человек — прозвище не требовало знатного происхождения.

В итоге: Полижайкин — фамилия-характеристика. Предок её носителя, скорее всего, был человеком, известным своим льстивым поведением или, реже, пристрастием к еде. Других версий, вроде связи с географическим названием или календарным именем, для этой фамилии не существует — корень слишком прозрачный и бытовой.