Фамилия Полстян — редкий случай, когда основа не даёт однозначного ответа, и приходится разбирать несколько версий, не уводя в домыслы. Самое правдоподобное объяснение лежит в диалектной лексике. В южнорусских и украинских говорах «полста» или «полсть» — это войлок, кошма, грубая ткань, а также подстилка из неё. Мастер по изготовлению такой ткани или торговец ею вполне мог получить прозвище Полстян. Суффикс -ян в этой модели указывает на лицо по роду занятий (ср. кожемяка, швец — но здесь именно -ян, как в «стеклянный», но в значении «работающий с полстью»). Таким образом, предок мог быть валяльщиком войлока или ремесленником, делавшим полсти.

Вторая версия, менее вероятная, но лингвистически возможная, — связь с глаголом «полоскать» или «полоснуть». В говорах «полстян» могло быть прозвищем человека с резкими движениями, порывистого, или того, кто «полощет» бельё (прачка? но тогда основа иная). Однако эта гипотеза слабая: суффикс -ян нехарактерен для таких прозвищ, и нет устойчивой параллели в фамилиях.

Третий путь — через географическое название. В Беларуси и на Украине есть сёла Полстяное, Полстяновка. Фамилия могла возникнуть как указание на выходца из такого места: «он из Полстяного» — Полстян. Но в этом случае чаще встречается суффикс -ский (Полстянский). Так что версия с прозвищем по ремеслу остаётся основной.

Фамилия практически не встречается за пределами южнорусских областей (Белгородская, Воронежская, Курская) и востока Украины. Это сужает поиск корней: предки, скорее всего, были однодворцами или государственными крестьянами, жившими в чернозёмной полосе. Суффикс -ян в русских фамилиях редок — обычно он характерен для армянских (-ян/-янц) или польских (-ян, -янка), но в данном случае это исконно восточнославянская модель, не связанная с иноязычным влиянием.

Написание с одной «с» (Полстян, а не Полстянин) подсказывает, что в основе не прилагательное, а краткое существительное или прозвище. Если бы фамилия была от «полстяной» (войлочный), она звучала бы как Полстянов. А здесь — прямое прозвище, застывшее в форме имени.