Фамилия Полстянка — редкий случай, когда в основе лежит не имя, не профессия и не географическое название, а, скорее всего, бытовое прозвище, связанное с повседневным предметом или действием. Если отбросить суффикс -к-, указывающий на уменьшительную или пренебрежительную форму, и окончание -а, то корень — «полст». В старых русских говорах «полсть» означала войлок, плотный нетканый материал, который использовали для подстилки, утепления или как половик. Полстяная одежда, полстяные сапоги — всё это указывает на связь с валянием шерсти. Таким образом, Полстянка — это, вероятнее всего, человек, который изготавливал или продавал полсть, либо тот, кто ходил в одежде из такого грубого сукна, за что и получил прозвище.

Словообразовательная модель здесь нестандартная. Фамилии на -янка (-янок) в русской традиции встречаются нечасто и обычно имеют украинское или белорусское происхождение (например, Солодянка, Гарбузянка). В русском языке суффикс -ян- чаще образует прилагательные (полстяной), а вот в фамилии он мог закрепиться как прозвище, которое затем оформилось окончанием -а. Вероятно, изначально человека звали Полстяной (то есть «относящийся к полсти»), а в разговорной речи форма смягчилась до Полстянка — так же, как из «Москвич» получилось «Москвичка», но здесь это не женский род, а общее прозвище.

Географически фамилия привязана к южнорусским и украинским регионам, где было развито валяльное ремесло. В центральных областях России чаще встречались фамилии Полстовалов, Полстяников, образованные от названий мастеров. Полстянка же — более локальный, диалектный вариант, который мог возникнуть в среде крестьян или ремесленников, занимавшихся обработкой шерсти. В документах XVIII–XIX веков носители такой фамилии почти не фиксировались, что говорит о её крайней редкости и, возможно, недавнем закреплении — не исключено, что фамилия могла быть искусственно образована при переписи или выдана священником по прозвищу.

Спорных версий здесь немного. Можно допустить, что основа связана с глаголом «полоскать» (через диалектное «полст»), но это натяжка: в говорах нет устойчивой формы «полст» в значении «полоскание». Правдоподобнее всего версия с войлоком — она объясняет и суффикс, и бытовой контекст. Если ваш предок носил фамилию Полстянка, он, скорее всего, происходил из среды сельских ремесленников, валяльщиков или просто людей, чья одежда или работа ассоциировались с грубой шерстяной тканью.