Фамилия Поолякова — довольно редкий вариант написания более привычной Полякова. Двойное «о» в корне — это не ошибка, а следствие старой орфографии или диалектного произношения. В русских говорах, особенно в северных и центральных областях, звук [а] после мягкого согласного мог переходить в [о] под ударением: «Пóля» вместо «Поля». Так появились фамилии Полюхов, Полюшкин и, вероятно, Пооляков. В дореволюционных метрических книгах и переписях такое написание встречается, хотя и не часто.

Основа фамилии — нецерковное имя или прозвище Поля, уменьшительное от Поликарп, Полиевкт, Ипполит или других крестильных имён, начинающихся на «Поли-». В быту Полями называли и просто тех, кто родился в поле, или детей, названных в честь святого Поликарпа. Суффикс -яков указывает на принадлежность: Пооляков — буквально «сын Поли». Такая модель типична для русских фамилий XVI–XVII веков, когда отчество на -ов закреплялось за целым родом.

Географически фамилия Поолякова (и её варианты) чаще всего встречается в Вологодской, Архангельской и Костромской областях — там, где оканье было нормой. В южных и среднерусских говорах писали через «а» — Поляков. Искать предков-носителей фамилии Поолякова стоит именно в северных губерниях: среди крестьян, реже — купцов или духовенства. Дворянских родов с таким написанием не зафиксировано, что подтверждает народное происхождение.

В ономастических словарях (например, у Б. Унбегауна) фамилия Поляков разбирается как типичная «полевая» — от прозвища Поляк или Поля. Но двойное «о» вносит нюанс: это не польское происхождение, а чисто фонетическое явление. Так что если вы встретили Поолякову — перед вами не опечатка, а живая примета северного говора, сохранившаяся в паспорте.