Фамилия Поспеловская — женская форма фамилии Поспеловский, и её происхождение напрямую связано с географическим названием. В основе лежит имя собственное, образованное от топонима: скорее всего, от названия населённого пункта Поспелово или Поспеловка. Таких сёл и деревень в России, особенно в центральных и северных областях, немало. Человек, переселившийся оттуда, получал прозвание «Поспеловский» — то есть выходец из Поспелова. Суффикс -ский в таких фамилиях указывает на принадлежность к месту, и в XIX веке эта модель была особенно характерна для духовенства и дворянства, хотя встречалась и у крестьян, и у мещан.

Корень фамилии — нецерковное славянское имя Поспел, которое в старину давали ребёнку, родившемуся вовремя, «поспелому». В словаре древнерусских личных имён это имя фиксируется с XV века. От него пошли фамилии Поспелов, Поспеловский, Поспеловских и другие. Таким образом, Поспеловская может быть не только топонимической, но и патронимической фамилией: её родоначальник мог быть сыном или дочерью Поспела, а суффикс -ский добавился позже по аналогии с другими фамилиями, особенно если носитель принадлежал к духовному сословию.

Встречается фамилия в основном на севере и северо-востоке европейской части России — в Вологодской, Архангельской, Костромской областях, а также в бывших землях Вятской губернии. Это подтверждается и архивными записями: в метрических книгах XIX века Поспеловские нередко значатся как священники или причетники. В южных регионах, например на Кубани, фамилия могла появиться позже, с переселенцами.

Написание с окончанием -ая — это грамматическая норма для женской формы фамилий на -ский/-цкий. В современном русском языке фамилия склоняется как прилагательное: Поспеловской, Поспеловскую. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были связаны с северными землями и, возможно, с церковной средой. Но не исключён и крестьянский корень: в Вятской губернии, например, Поспеловские встречались среди государственных крестьян.