Фамилия Повольнова — женская форма фамилии Повольнов, и её происхождение стоит искать в мужском прозвище или имени Повольн. Сама основа «повольн-» прозрачна для русского уха: она связана с глаголом «поволить» (позволить, разрешить) или прилагательным «повольный» (вольный, свободный, не стеснённый). В диалектах слово «повольный» могло означать «своевольный», «независимый» или даже «медлительный» (тот, кто действует по своей воле, не торопясь). Скорее всего, прозвищем Повольн награждали человека с вольным нравом, который не терпел над собой указки, либо того, кто жил без строгих обязательств — например, вольного крестьянина или отпущенника.

Словообразовательная модель здесь простая: суффикс -ов- указывает на принадлежность («чей?»), то есть Повольнов — сын или потомок Повольна. Фамилия не относится к самым распространённым, но вписывается в ряд однокоренных русских фамилий: Повольнов, Повольный, Повольников. Все они, вероятно, возникли в среде крестьян или посадских людей, где прозвища давали по характеру или поведению.

Географически фамилия Повольнов (и Повольнова) встречается в основном в центральных и южных регионах России, особенно в бывших Рязанской, Тамбовской и Воронежской губерниях — зонах, где активно бытовали диалектные слова с корнем «воль-» и где прозвищные фамилии были обычным делом. В документах XIX века можно найти упоминания крестьян Повольновых из Рязанской губернии, что подтверждает народное, недворянское происхождение.

Интересная деталь: в некоторых говорах «повольный» означало ещё и «покладистый», «уживчивый». Так что у фамилии возможен и противоположный оттенок — не строптивый, а сговорчивый человек. Без точного контекста, в каком селе дали прозвище, сказать определённо нельзя, но оба значения в равной степени вероятны. Фамилия Повольнова — редкий случай, когда основа сохранила почти буквальное звучание древнего прозвища, и её легко «расшифровать» без словаря.