Фамилия Повстьев — редкий случай, когда прозвище предка почти наверняка связано с конкретным ремеслом или предметом быта. Основа здесь — слово «повсть» (или «повсть» с ударением на первый слог). В старых русских говорах так называли войлок, кошму, валяное полотно. Соответственно, прозвище Повсть могли дать валяльщику шерсти, мастеру по изготовлению войлока — ремесленнику, чья работа была и шумной, и грязной, но необходимой в крестьянском хозяйстве (из войлока делали потники для лошадей, подкладки под седло, половики, зимнюю обувь). Суффикс -ев указывает на принадлежность: Повстьев буквально значит «сын Повстя» или «из рода Повстя».

Слово «повсть» общеславянское, но в русском языке оно постепенно вытеснялось тюркским «войлок». В некоторых диалектах «повсть» сохранилась дольше, особенно на юге и западе России, а также в Белоруссии. Поэтому географически фамилия могла возникнуть в районах развитого овцеводства и кустарного валяльного промысла — например, в Смоленской, Калужской, Брянской губерниях. Встречается также вариант Повстев (без йотированного окончания) — он мог возникнуть в результате упрощения произношения или при записи фамилии в документах.

Интересна словообразовательная модель: фамилия образована не от имени, а напрямую от названия материала. Это сближает её с прозвищными фамилиями ремесленников вроде Шубников, Войлочников, Кожевников. Но если Шубников — от названия профессии, то Повстьев — от самого продукта. В старину мастера часто получали прозвище по тому, с чем работали: например, Ложкарь, Ситник, Повсть. Такие прозвища были конкретны, понятны соседям и легко переходили в фамилии.

Встречается и гипотеза, что «повсть» могло быть прозвищем за внешность или характер — например, за мягкость или бесформенность (как войлок). Но это менее правдоподобно: в русской ономастике прозвища по материалу почти всегда указывают на ремесло, а не на личные качества. Тем более что валяльное дело было заметным и уважаемым — валяльщики шерсти обеспечивали деревню тёплой обувью и упряжью.

Фамилия не получила широкого распространения и осталась редкой. В дореволюционных справочниках она почти не фиксируется, что говорит о её локальном бытовании. Сейчас носители Повстьева встречаются в основном в центральной России и на юге, но численно их немного. Это типичная «ремесленная» фамилия, которая хранит память о забытом слове и занятии.