Фамилия Присошков образована по древней и распространённой у славян модели: от прозвища, которое закрепилось за человеком, а затем перешло к его детям и внукам. Основой послужило слово «присошка» или «присох». В старину так называли деревянную часть сохи — изогнутый корень или брус, к которому крепились сошники. Прозвище Присошок могли дать либо искусному мастеру, делавшему такие детали, либо крестьянину, чья работа была неразрывно связана с пахотой. Менее вероятно, но допустимо, что прозвище отражало внешность человека — сухого, жилистого, будто «присохшего» к земле.

Словообразовательная цепочка выглядит так: сначала появилось прозвище Присошок, а уже от него, по самой частотной для восточных славян модели, возникла фамилия Присошков. Суффикс -ов указывает на принадлежность: Присошков буквально означает «сын Присошка», «из рода Присошка». Такая модель в XV–XVII веках вытеснила более ранние формы именований с суффиксом -ин и стала доминирующей при формировании русских фамилий.

Именования, образованные по той же модели, широко представлены в ономастике восточных, западных и южных славян. Славянские фамилии возникали от личного прозвища или от имени — христианского или языческого. В случае с Присошковым мы имеем дело именно с прозвищным именованием, причём не от календарного имени, а от бытового слова, что указывает на крестьянское или ремесленное происхождение рода. Показательно, что в документах XVI–XVII веков встречаются параллельные формы: крестьянина могли записать как Присошок, а его взрослого сына — как Присошков, что и закрепляло фамилию за семьёй.

В отличие от фамилий, образованных от церковных имён (Иванов, Петров), Присошков относится к пласту «мирских» прозвищ, которые часто раскрывают род занятий предка. Аналогичные по смыслу фамилии — Сошников, Рассошкин, Осошников — встречаются в северных и центральных русских говорах, где соха была основным орудием земледельца. Географически фамилия тяготеет к регионам с развитым пашенным земледелием, хотя точную точку возникновения установить сложно: прозвища такого типа возникали независимо в разных местностях.

Спорных версий происхождения здесь немного. Иногда Присошкова пытаются связать с глаголом «присохнуть» в переносном смысле — о человеке, который «присох» к какому-то делу или месту. Но это скорее народная этимология: в основе всё же лежит конкретный предмет — деталь сохи. Другая гипотеза, возводящая фамилию к географическому названию, например к речке Присошке, возможна, но менее убедительна, поскольку таких топонимов в известных источниках не зафиксировано.

Фамилия сохранила архаичное написание с буквой «о» в корне, что отличает её от более поздних вариантов с «а» (Присашков), которые могли возникнуть под влиянием акающих говоров. Это говорит о том, что фамилия оформилась в письменных документах достаточно рано, до того как орфография унифицировалась. Сегодня Присошковы встречаются редко, что типично для фамилий, произошедших от узкопрофессиональных или диалектных слов: такие именования не получили массового распространения, но сохранили память о занятии далёкого предка, который, вероятно, был крестьянином-пахарем или деревенским мастеровым.