Фамилия Пучкаева — женская форма от Пучкаев, а та, в свою очередь, образована от прозвища Пучкай. Разбираем её не с корня, а с суффикса, который сразу выдаёт регион. Окончание -ев (а не -ов) указывает на то, что основа оканчивалась на мягкий согласный или «й». В данном случае перед нами суффикс -ай, характерный для северных и северо-восточных русских говоров (вологодских, архангельских, вятских). Прозвища на -ай (Пугай, Бодай, Ловиай) часто давали за манеру поведения или особенности речи.

Основа «пучк-» может означать несколько вещей. Самый прямой вариант — от слова «пучка»: в диалектах так называли пук, связку, пучок сена или соломы. Пучкаем могли прозвать человека, который вязал снопы, торговал пучками товара или просто имел густую шевелюру — «волосы пучком». Менее вероятная, но встречающаяся версия — от глагола «пучкать» (набухать, вздуваться) или от названия рыбы «пучка» (бычок-подкаменщик). В таком случае прозвище могло относиться к рыболову или к человеку с полным лицом.

Поскольку фамилия зафиксирована в основном в Поволжье и на Урале (встречается в Пермском крае, Кировской области, Татарстане), логичнее всего связывать её с сельскохозяйственным прозвищем. В этих краях «пучка» — распространённое слово для охапки сена или льна. Пучкай — это, скорее всего, крестьянин, занятый заготовкой кормов или льноводством. В пользу бытового, а не рыбного происхождения говорит и то, что фамилии на -ай редко давали по названиям животных или рыб — чаще по действиям или внешности.

В ономастических словарях фамилия не упоминается у Б. Унбегауна, но встречается в региональных списках. Её носители — почти всегда потомки государственных или помещичьих крестьян, а не дворян: суффикс -ев при крестьянской основе — признак позднего закрепления фамилии (XVII–XIX века). Если ваш предок носил фамилию Пучкаев, он с высокой вероятностью жил в лесной или лесостепной полосе России и занимался земледелием, а прозвище получил за то, что постоянно таскал пучки сена или соломы.