Фамилия Рабая — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Чтобы понять её корень, нужно отбросить привычную модель «основа + суффикс -ов/-ин». Здесь нет суффикса патронимической принадлежности: окончание -ая указывает на то, что перед нами, скорее всего, прилагательное в женском роде, которое когда-то стало фамилией.

Самая прямая версия — связь с прозвищем или мирским именем Рабый. В древнерусском языке «рабый» означало «невольный», «зависимый», но в народной речи слово приобретало и другие оттенки: рабый могли назвать человека, попавшего в кабалу, либо, в ироничном смысле, того, кто слишком услужлив. В таком случае фамилия Рабая образовалась от притяжательного прилагательного «Рабая» (то есть «жена Рабого») или же закрепилась за женщиной, получившей такое прозвище. Со временем форма на -ая перестала восприниматься как женская и стала родовой, как, например, у фамилий Благая, Смелая.

Менее очевидная, но возможная версия — топонимическая. В славянских языках встречаются названия речек и урочищ с корнем *rab- (сравните Рабка, Рабеж). Если предки человека жили у такого места, их могли записать как «Рабая» — то есть «живущая на Рабе» или «из Рабого». Однако эта гипотеза слабее, потому что для топонимических фамилий типичнее окончания -ский или -цкий.

Есть ещё одна деталь: в украинском и белорусском языках прилагательное «рабий» означает «рабский», но звучит иначе. Поэтому фамилия Рабая чаще встречается в южнорусских и западнорусских областях, где сохранялось аканье и форма на -ая была нормой для прозвищ. Сословной привязки у неё нет: «рабый» мог быть и крестьянином, и посадским человеком — прозвище давали по поведению или обстоятельствам жизни, а не по социальному статусу.

В итоге: скорее всего, фамилия Рабая — это бывшее прозвище, которое закрепилось в форме женского прилагательного. Предок её носителя мог быть человеком зависимым или, наоборот, получить такое имя в насмешку за излишнюю покладистость. Точных исторических записей по этой фамилии в открытых источниках мало, что только подтверждает её редкость и локальный характер бытования.