Фамилия Радаева — это женская форма фамилии Радаев, и разбирать её нужно через мужской вариант, который и хранит ключ к происхождению. В основе лежит нецерковное, мирское имя Радай, которое в древнерусской традиции давали ребёнку в дополнение к крестильному. Суффикс -ев (а не более распространённый -ов) указывает на то, что в основе лежит имя или прозвище, оканчивающееся на мягкий согласный или на -й: отсюда и форма Радай.

Сам корень «рад» почти наверняка связан с понятием радости. Имя Радай могло быть пожеланием ребёнку счастливой, «радостной» жизни, своего рода оберегом, который должен был привлечь к нему благосклонность судьбы. Такие имена-пожелания были широко распространены в дохристианской и раннехристианской Руси, и фамилии от них — одни из самых древних пластов русской ономастики.

Существует и вторая, менее вероятная гипотеза, которую упоминают исследователи. Она возводит основу к глаголу «радеть», то есть заботиться, усердствовать, проявлять рвение. В этом случае прозвище Радай могли дать человеку отзывчивому, старательному, тому, кто «радеет» о деле или о ближних. Однако эта версия выглядит вторичной: фонетически и семантически имя Радай всё же ближе к «радости», чем к «радению», и большинство ономастов склоняется к первой трактовке.

Интересно, что фамилия Радаев и её формы встречаются в разных регионах России, но особенно часто — в Поволжье и в центральных областях. Это говорит о том, что имя Радай не было узколокальным, а бытовало в разных землях, что косвенно подтверждает его древность и народное происхождение. В архивных документах XVI–XVII веков можно найти упоминания крестьян и посадских людей с этим именем, что указывает на то, что фамилия формировалась в среде простого люда, а не в аристократических кругах.

Таким образом, если вы носите фамилию Радаева, ваши предки, скорее всего, происходили из крестьянской или посадской среды, а родоначальник носил имя Радай — пожелание радости и благополучия, которое через века закрепилось за его потомками.