Фамилия Радаш — редкий случай, когда основа почти наверняка не славянская, а западноевропейская. В русском языке нет корня «рад-», который бы дал прозвище с таким суффиксом. Поэтому первая и самая вероятная версия: фамилия пришла из польского или белорусского языков, где «rada» означает «совет». Соответственно, Радаш — это человек, который даёт советы, советник, участник совета (рады). Суффикс -аш характерен для польской и западноукраинской модели образования прозвищ (сравните: Кубаш от Куба, Янаш от Ян). То есть предок носителя фамилии мог быть выборным лицом, членом местного самоуправления, либо просто слыл рассудительным, «советным» человеком.

Вторая версия, менее распространённая, но тоже имеющая право на существование, — связь с немецким словом «Rad» (колесо). В этом случае Радаш мог быть прозвищем тележника, колёсного мастера или человека, работавшего с повозками. Однако эта гипотеза слабее: суффикс -аш нехарактерен для немецких фамилий, а в славянской среде такое прозвище скорее дали бы через форму «Колесник» или «Радник». Поэтому версия с «советником» выглядит убедительнее.

Географически фамилия Радаш встречается в основном на западе Украины, в Беларуси и в восточной Польше — как раз в зоне, где исторически действовали магдебургское право и местные советы (рады). В России она редка и, скорее всего, принесена переселенцами из тех регионов. Фамилия не относится к дворянским или крестьянским по происхождению — она указывает скорее на социальную роль или характер человека, а не на его сословную принадлежность.

Интересная деталь: фамилия Радаш не имеет «русского» суффикса -ов/-ев или -ин, что говорит о её позднем закреплении в письменных источниках уже в форме, близкой к прозвищу. В документах XIX века она могла фиксироваться как Радашъ, без изменений по падежам. Это отличает её от фамилий, образованных по стандартной модели отчества (типа Радищев — от Радиша). Здесь мы видим прямое прозвище, которое не склонялось и не «обрусело» до конца.