Фамилия Реукий — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. Чтобы понять, откуда она взялась, нужно разобрать её окончание. В русских фамилиях суффикс -к- чаще всего указывает на польское, украинское или белорусское происхождение, где он мог означать принадлежность или уменьшительность. Сама основа — «Реу-» — может восходить к имени или прозвищу.

Скорее всего, в основе лежит краткая форма редкого канонического имени Рев (от латинского «рекс» — царь, или греческого «рео» — течь, стремиться). В народной среде имя могли переделать в Реуй или Реуха, а от них уже образовать фамилию с помощью суффикса -к-: Реуцкий → Реукий. Возможно, первоначально фамилия звучала как «Реуцкий» (с «ц»), но со временем «ц» перешло в «к» из-за особенностей местного говора или ошибки писаря. Такое чередование (ц/к) встречается в диалектах, особенно на стыке украинских и южнорусских земель.

Другая, менее вероятная версия связывает фамилию с прозвищем от глагола «реветь». Тогда Реукий — это тот, кто «ревет», то есть крикливый или плаксивый человек. Однако в этом случае логичнее было бы ожидать форму «Ревукий» или «Ревкий». Форма «Реукий» с ударением на второй слог (Реу́кий) больше характерна для модели, где корень — имя собственное.

Географически фамилия встречается в основном в западных и центральных регионах России, а также в Беларуси. В дореволюционных списках она почти не фиксируется, что говорит о её позднем оформлении или малом распространении. Сословно предки могли быть крестьянами или мещанами: фамилии на -кий/-цкий в этой среде часто возникали стихийно, без связи с дворянским титулом.

Таким образом, фамилия Реукий — это, вероятно, «сын Реуя» или «человек из рода Реухи». Её редкость и неочевидная этимология делают её интересным объектом для локального генеалогического поиска, но без конкретных записей по региону точнее сказать сложно.