Фамилия Родякина, как и большинство русских фамилий на -ин, образована от имени или прозвища отца. Основа здесь — Родяка. Это краткая, обиходная форма одного из крестильных имён: Родион (от греческого «житель Родоса» или «розовый») или, реже, Родивон (народный вариант того же имени). Суффикс -ак/-як в русских прозвищах часто придавал слову оттенок ласкательности или, наоборот, просторечной грубоватости. Таким образом, Родяка — это примерно то же, что «Родя» или «Родька», но в более характерной для северных и центральных говоров форме.

Интересно, что фамилия Родякин (и женская форма Родякина) имеет чёткую географическую привязку. По данным исследований русских фамилий, она особенно распространена в Вятском крае (нынешняя Кировская область) и в Пермском Прикамье. Это регионы, куда в XVII–XVIII веках активно переселялись крестьяне из центральной России, и где фамилии на -ин и -их закрепились особенно плотно. Если ваши предки носили эту фамилию, с высокой вероятностью они были государственными или заводскими крестьянами именно тех мест.

В отличие от фамилий на -ов/-ев, которые образовывались от основ на твёрдый согласный (Иван — Иванов), фамилии на -ин происходят от основ на -а/-я. Родякина стоит в одном ряду с Фомин, Ильин, Кузьмин. Примечательно, что полная форма фамилии в мужском роде — Родякин, но в женском окончание -а указывает на принадлежность: «дочь или жена Родякина». В современном бытовании это уже просто грамматическая форма, но исторически она сохраняет следы родовой принадлежности.

Споров вокруг этимологии почти нет: версия с именем Родион — самая прямая и правдоподобная. Альтернативные варианты, связывающие основу с диалектным глаголом «родякать» (говорить невнятно или картавить), выглядят натяжкой — слишком редкое и локальное слово. Поэтому основная версия остаётся антропонимической: фамилия произошла от разговорного варианта церковного имени, и её носители — потомки человека, которого в быту звали Родякой.