Фамилия Родзинская — женская форма фамилии Родзинский, и её происхождение сразу ведёт к нескольким возможным корням, каждый из которых по-своему точен. В основе почти наверняка лежит географическое название. На карте Польши, Украины и Беларуси встречаются населённые пункты с похожими именами — Родзянка, Родзино, Родзины. Человек, переехавший из такого места, получал прозвище «Родзинский» — то есть «родом из Родзина». Модель с суффиксом -ский/-цкий как раз и указывает на дворянскую или шляхетскую традицию: в Польше и на западе Российской империи такие фамилии давали по названию имения или родового гнезда.

Но есть и второй, более неожиданный вариант. Основа «родз-» может восходить к польскому слову «rodzić» — «рожать», «производить на свет». В этом случае фамилия Родзинский могла достаться повитухе, акушеру или человеку, связанному с деторождением — например, тому, кто воспитывал подкидышей. Такие прозвищные фамилии встречаются, хотя реже топонимических. Спор между версиями решает география: если искать корни в Волынской, Гродненской или Минской губерниях, где много деревень с корнем «Родз-», то первая версия правдоподобнее.

Суффикс -ск- в фамилии — верный признак того, что носители принадлежали к шляхте или, по крайней мере, к образованным слоям. В XIX веке такие фамилии часто давали и крестьянам, но по документам Родзинские встречаются среди мелкопоместных дворян, особенно на территории современной Западной Украины и Польши. Фамилия не самая редкая, но и не массовая: её носители сосредоточены в основном в тех краях, откуда пошло название.

Что касается ударения — в русском языке чаще говорят РодзИнская, хотя в польском варианте возможен акцент на втором слоге: РодзИнская или даже Родзянская. Написание через «з» (а не через «дз») закрепилось в русской передаче, но в польском оригинале фамилия выглядит как Rodzińska. Так что, если ваши предки писались через «дз», это прямое указание на польские корни.