Фамилия Рябиик — редкий случай орфографической двойственности. Скорее всего, вы столкнулись с вариантом написания фамилии Рябик или Рябчик, где удвоенная «и» возникла из-за ошибки в документах или особенностей местного говора. Но если написание именно такое, корень здесь один — «ряб-», от слова «рябой».

В основе фамилии лежит прозвище Рябой. В древнерусском языке «рябой» означало человека со следами оспы на лице, веснушчатого или пёстрого от природы. Прозвище было очень распространённым — его давали по внешнему признаку, не обязательно обидному. От него образовались десятки фамилий: Рябов, Рябцев, Рябинин, Рябчиков, Рябых.

Фамилия Рябиик (если читать её как Рябик) построена по модели с суффиксом -ик. В русской ономастике суффикс -ик часто указывал на принадлежность к чему-то или на уменьшительно-ласкательную форму. В данном случае Рябик — это «сын Рябого» или «маленький Рябой». Такая модель образования (от прилагательного через прозвище) характерна для северных и центральных регионов России, где активно использовались суффиксы -ик, -чик, -ок.

Интересно, что в некоторых говорах «рябик» — это название птицы рябчика. Не исключено, что прозвище могли дать охотнику или человеку, похожему на эту пёструю птицу. Однако основная версия всё же связана с внешностью.

Географически фамилия Рябик (и её варианты) встречается в Беларуси, на Смоленщине, в Псковской области и на Урале. Если ваши предки носили именно Рябиик, стоит проверить архивные записи XIX века — вероятно, в метрических книгах фамилия писалась через одно «и», а двойное «ии» появилось при паспортизации в советское время, когда писарь машинально повторил гласную.

Таким образом, фамилия Рябиик — это вариант фамилии Рябик, которая восходит к прозвищу Рябой, данному по внешнему признаку. Ваш предок мог быть человеком с веснушками, рябым от оспы или просто обладателем пёстрой, неоднородной внешности.