Фамилия Рыстын — редкая и сбивающая с толку. На слух она кажется то ли прибалтийской, то ли финно-угорской, но скорее всего, перед нами чисто русская фамилия, записанная на слух в северных говорах. Её основа — некалендарное прозвище или мирское имя Рыста, Рысто. В диалектах русского Севера (особенно в архангельских и вологодских) слово «рыстать» означало «быстро ходить, бегать, рыскать», а «рыста» — непоседу, беспокойного человека. Суффикс -ын указывает на принадлежность: Рыстын — буквально «сын Рысты», «из рода Рысты». Это типичная модель для фамилий, образованных от прозвищ на твердый согласный (ср. Плетнёв — от Плетень, но Плетнин — от Плетня; здесь же Рыста → Рыстын).

Версия о тюркском или кавказском происхождении маловероятна. В тюркских языках корень «рыс» означает «рысь» (животное), но суффикс -ын в русском оформлении дал бы фамилию Рысин, а не Рыстын. Фамилия Рыстын могла возникнуть и как вариант фамилии Рыстин, если носитель говорил на «оканье» и произносил «Рыстын» там, где литературная норма требовала «Рыстин». Однако в любом случае ядро одно — прозвище подвижного, верткого человека.

Географически фамилия сегодня встречается единично, преимущественно в северных регионах России (Архангельская область, Республика Коми) и среди потомков северных переселенцев в Сибири. В дореволюционных метрических книгах её почти нет — это говорит о том, что фамилия могла быть поздней (середины XIX века) и закрепилась в одном-двух крестьянских родах, не распространившись широко.

Сравнение с однокоренными фамилиями подтверждает северный след. Рыстов, Рыстова — более распространённые варианты, а Рыстын — их редкая патронимическая форма. Если ваш предок был Рыстын, он почти наверняка был крестьянином-северянином, возможно, из старообрядческой среды, где мирские имена держались дольше, чем в центральной России.