Фамилия Сагат встречается нечасто, и её происхождение не лежит на поверхности. Скорее всего, перед нами не русская в привычном понимании фамилия, а заимствованная или образованная от нерусского корня. Самый прямой путь — тюркские языки, где «сагат» означает «час», «время» или «эпоха». В этом значении слово могло стать прозвищем человека пунктуального, либо того, кто родился в знаменательный час, — такие прозвища давали по обстоятельствам появления на свет. В казахском, татарском, башкирском языках слово «сагат» (с ударением на второй слог) знакомо каждому, и фамилия вполне могла возникнуть у тюркских народов, а потом перейти в русский обиход через метрические записи или военную службу.

Однако есть и другая версия. В некоторых диалектах русского языка (особенно на юге и в Поволжье) «сагат» могло быть искажением слова «сагайдак» — колчан для стрел. Если предок был лучником или изготовителем колчанов, прозвище Сагат могло сократиться от более длинного «Сагайдак». Правда, эта гипотеза слабее: в письменных источниках фамилия Сагат почти не встречается в сословных списках стрельцов или казаков, а вот в метрических книгах XIX века у татар и башкир она фиксируется.

Словообразовательная модель проста: фамилия бессуффиксная, то есть образована напрямую от прозвища или имени без добавления -ов/-ев, -ин. Такое оформление характерно для фамилий, пришедших из тюркской среды, где русский суффикс не добавляли, или для поздних записей, когда прозвище записывали как есть. В русской традиции бессуффиксные фамилии встречаются редко, поэтому Сагат — скорее «мигрант» из другого языка, чем исконно русское образование.

Географически фамилия тяготеет к Татарстану, Башкортостану, Оренбургской области, а также к Казахстану. В центральных русских губерниях она почти не встречается. Если ваш предок носил фамилию Сагат, с высокой вероятностью он был выходцем из тюркской среды или жил в регионе с сильным татарским влиянием. Сословная принадлежность могла быть разной: от крестьян до купцов, но точных данных по конкретному роду без архивных изысканий не найти.