Фамилия Сасим чаще всего восходит к крестильному имени Засим, а точнее — к его белорусской народной форме. Церковное имя Зосима (из греческого Zosimos, «подпоясываться», то есть готовый к пути, крепкий) в белорусских говорах нередко упрощали до Засим, а дальше уже один шаг до формы Сасим: начальный слог «За» редуцировался, и фамилия закрепилась в таком усечённом виде. Так что если ваши предки носили фамилию Сасим, с большой долей вероятности среди них был человек, носивший имя Зосима или Засим.

Но это не единственная версия, и вторая не менее любопытна. Фамилия могла образоваться от прозвища Сас. В украинском языке «сас» — это рыжий таракан, прусак. Прозвище, скорее всего, указывало на внешность: рыжие волосы или усы. Человек с яркой рыжей шевелюрой вполне мог получить такое прозвище, а его дети уже стали Сасимами — через притяжательный суффикс, отвечающий на вопрос «чей?»: Сас + им, то есть «сын Саса».

Есть и третья, менее очевидная, но тоже возможная трактовка — от чувашского «сас». Это слово многозначно: «кант, нашивка» или «бить, ударять». В таком случае прозвище Сас могло закрепиться за ремесленником, например портным, который работал с кантом и нашивками, или за человеком с суровым, «бьющим» характером. Впрочем, эта версия более экзотична: она объясняет появление фамилии только в том случае, если род имел связи с чувашскими землями, тогда как первые две укладываются в привычную восточнославянскую модель.

Что интересно, форма Сасим не типична для русских фамилий: обычный суффикс здесь был бы -ов или -ин (Сасов, Сасин). Окончание -им встречается реже и часто указывает на белорусское или украинское происхождение рода. Это косвенно подтверждает первую версию: именно в белорусской среде имя Засим и его производные были особенно распространены. Так что, скорее всего, перед нами фамилия, которая прошла путь от греческого имени через белорусское просторечие к устойчивому родовому прозванию, а уже потом — к официальной фамилии.