Фамилия Сатырева — женская форма фамилии Сатырев, и её разговор стоит начать с разбора мужского варианта. Основа фамилии — «Сатыр» — это вариант древнерусского нецерковного имени Сатир, которое восходит к греческому «сатир» (лесное божество, спутник Диониса). В древнерусской ономастике такие имена давали не в честь мифологических персонажей напрямую, а по церковной традиции: имя Сатир носили несколько раннехристианских святых, и оно попало в святцы, хотя и редко. Поэтому Сатырев — это отчество от канонического имени Сатир, которое в бытовой речи могло звучать как Сатыр (замена «и» на «ы» — характерная черта северных и сибирских говоров, а также простонародного произношения).

Суффикс «-ев» указывает на принадлежность: «чей сын?» — Сатырев, то есть сын Сатыра. Модель образования типична для русских фамилий XVI–XVII веков, когда отчества закреплялись как наследственные прозвания. Встречается и параллельная форма — Сатиров, но Сатырев — более редкий вариант, что говорит о его локальном бытовании. Географически фамилия Сатырев (и Сатырева) чаще всего фиксируется в Вологодской, Кировской и Архангельской областях — как раз в зоне распространения северных говоров с их «оканьем» и заменой «и» на «ы» после твёрдых согласных.

Возможна и вторая, менее вероятная версия: от прозвища Сатырь (или Сатыра) — так в некоторых диалектах называли бойкого, задиристого человека, от глагола «сатырить» (дразнить, задирать). Но эта гипотеза слабая, потому что глагол редкий и не имеет широкой фиксации в словарях. Основная версия — через имя Сатир — надёжнее и подтверждается тем, что в святцах действительно есть память мученика Сатира (III век), почитаемого в православной церкви.

Таким образом, предки носительницы фамилии Сатырева были, скорее всего, крестьянами или посадскими людьми из северных русских земель, а их родоначальник носил редкое церковное имя Сатир, которое со временем обросло местным произношением. Фамилия не дворянская и не купеческая — в ревизских сказках и переписях она встречается среди государственных крестьян и мещан, что типично для отчеств от редких святых имён.