Фамилия Сатырев образована от прозвища или имени Сатырь, а точнее — от его притяжательной формы с суффиксом -ев. Этот суффикс указывает на принадлежность: Сатырев — сын Сатыря. Модель типична для русских фамилий, но основа неочевидна, поэтому здесь начинается самое интересное.

Наиболее вероятная версия ведёт к тюркским корням. В тюркских языках, особенно в татарском и башкирском, есть слово «сатыр» или «сатырлы» — «весёлый», «развесёлый», «забавник». Прозвище Сатырь могли дать человеку с лёгким нравом, балагуру или шутнику. Фамилия могла возникнуть в среде служилых татар или крещёных татар, которые после принятия православия получали фамилии на -ов/-ев, образованные от старых мирских имён и прозвищ. География фамилии это подтверждает: Сатыревы чаще встречаются в Поволжье, в Татарстане и Башкирии, а также в соседних областях — Самарской, Оренбургской, Челябинской.

Менее убедительная версия связывает Сатыря с диалектным русским словом «сатырь» — якобы так в некоторых говорах называли бродягу или неопрятного человека. Но эта гипотеза плохо подкреплена словарями. В авторитетных собраниях русских говоров (например, в словаре Даля) такого слова нет. Скорее всего, это народная этимология, возникшая от созвучия с «сатрап» или «сатир», но ни то, ни другое не имеет отношения к реальному происхождению.

С точки зрения словообразования фамилия редкая. У неё нет «двойников» с другим суффиксом (вроде Сатырин или Сатырский), что говорит о локальном бытовании. Встречается вариант Сатырев с ударением на первый слог, что тоже характерно для тюркских заимствований, адаптированных русским языком.

Таким образом, Сатырев — фамилия с тюркской основой, указывающая на жизнерадостного предка. Носители фамилии, скорее всего, потомки выходцев из Волго-Уральского региона, где тюркские и русские традиции смешивались веками.