Фамилия Савчихин — один из ярких примеров «матронимической» модели, то есть образованной не от имени отца, а от имени матери. В русской традиции такие фамилии на -ихин, -ицын, -инин встречаются реже, чем отчества на -ов/-ев, и почти всегда указывают на особый семейный уклад: либо мать была главой дома (вдова, кормилица), либо женщина имела в окружении больший вес, чем мужчина.

Основа фамилии — женское имя Савчиха. Так в народе называли жену, вдову или дочь человека по имени Савва (в просторечии — Савка, Савушка). Суффикс -их- в русских говорах активно использовался для обозначения женщины по мужу: Савва → Савчиха (жена Саввы). А уже от этого прозвища по матери образовали фамилию для детей: «чей будешь?» — «Савчихин», то есть сын Савчихи.

Сам корень восходит к церковному имени Савва (др.-евр. «старец, дед»), которое было особенно популярно в крестьянской среде. В русских деревнях Саввами называли часто, поэтому фамилий с этим корнем много: Саввин, Савушкин, Савельев, но Савчихин стоит особняком — он указывает не на отца, а на мать.

Географически фамилия тяготеет к северным и центральным областям России — Вологодчине, Костромской, Архангельской губерниям. Именно там матронимические фамилии на -ихин были распространены шире, чем на юге. Встречаются варианты написания: Савчихин, реже Савчихин с ударением на второй слог, а также искажённое Савчикин (под влиянием аканья или при переписи).

В отличие от фамилий на -ов, которые давали по имени отца, Савчихин может говорить о том, что в роду ценили линию матери — возможно, она была более зажиточной или уважаемой. В метрических книгах XIX века такие фамилии нередко давали детям, рождённым вне брака, или сиротам, которых записывали по матери.

Если ваши предки — Савчихины, скорее всего, они происходят из среды северных крестьян или мещан, а корень фамилии — не ремесло и не прозвище, а имя простой женщины, вокруг которой строилась семья.