Фамилия Савихина — женская форма, а её мужской вариант Савихин. В основе лежит имя или прозвище Савиха, которое, скорее всего, образовано от канонического крестильного имени Савва. В русской народной традиции имя Савва часто приобретало уменьшительно-ласкательные формы: Савка, Савушка, Сава. Форма Савиха — более редкая, но вполне объяснимая: суффикс -их- в данном случае не отчество (как в фамилиях на -их/-ых), а часть прозвища, указывающего на принадлежность к кому-либо. То есть Савиха — это «жена Саввы» или «женщина из семьи Саввы». Такие прозвища были распространены в северных и центральных губерниях России, где женщину часто называли по мужу: Иваниха, Петриха, Савиха.

Фамилия Савихин (и Савихина) закрепилась, когда прозвище перешло в разряд фамилий по стандартной модели: «чей?» — Савихин, то есть сын или потомок Савихи. Суффикс -ин указывает на принадлежность, так что фамилия буквально означает «из рода Савихи». Важно не путать этот суффикс с фамилиями на -ихин, которые тоже встречаются, но здесь он слился с основой. Встречается фамилия в основном в центральной России и Поволжье, что подтверждает её народное, недворянское происхождение — носители были крестьянами или мещанами.

Если рассматривать альтернативные версии, то иногда фамилию связывают с диалектным словом «савиха» — так в некоторых говорах называли нерасторопную или рассеянную женщину. Однако это объяснение менее вероятно: прозвища на -иха обычно образовывались от мужских имён, а не от качеств. Правдоподобнее, что корень всё-таки именной, и предки носителя фамилии были либо потомками женщины по прозвищу Савиха, либо людьми, жившими в её хозяйстве. В любом случае, фамилия Савихина — яркий пример того, как женское прозвище, не ставшее самостоятельным именем, дало начало целому роду.