Фамилия Сайгаш почти наверняка имеет тюркские корни, и в её основе лежит прозвище, данное по чертам характера или внешности. В большинстве тюркских языков слово «сайгаш» или близкие ему формы означают «кривой», «косой» (иногда — «белоглазый»). Так могли назвать человека с лёгким косоглазием или же того, кто, по народному поверью, обладал «дурным глазом». В старину подобные прозвища не несли в себе обиды, а служили отличительной приметой рода, и именно от этого прозвища и пошла фамилия.

Словообразовательная модель здесь простая и типичная для фамилий, возникших в среде кочевых народов и их соседей: к основе «Сайгаш» добавили русский патронимический суффикс -ев (в форме Сайгашев) или оставили основу без изменений. Фамилия Сайгаш без суффикса — это, скорее всего, более ранняя, «застывшая» форма прозвища, которая закрепилась в документах как есть. Такое часто случалось при переписях, когда писарь фиксировал человека не по отцу, а по его уличному имени. Поэтому фамилия могла сохраниться в первозданном виде, не обрастая привычным окончанием.

Важно отличать эту фамилию от омонимичных названий. Сайга — это степная антилопа, и фамилия Сайгаков, например, действительно происходит от этого животного. Но Сайгаш к животному отношения не имеет, если только не предполагать очень позднее и шутливое прозвище. Основная и самая правдоподобная версия — именно «косой», «кривой». Впрочем, есть и другая, менее распространённая гипотеза: в некоторых диалектах слово «сайгаш» могло означать «болтливый», «пустомеля», но эта версия выглядит слабее и встречается реже.

В тюркской среде существовал целый пласт имён-оберегов, когда ребёнку давали имя с негативным значением, чтобы отвести от него беду и сглаз. Считалось, что злые духи не позарятся на того, кого зовут «кривым» или «убогим». Прозвище Сайгаш вполне могло быть таким оберегом, которое затем перешло в фамилию. Так что предки носителей этой фамилии могли быть вовсе не кривыми, а просто носить охранительное имя, данное по традиции.

Географически фамилия встречается там, где исторически проживали тюркские народы и русские переселенцы, смешавшиеся с ними: в Поволжье, на Урале, в Сибири. Встречается она и у башкир, и у татар, и у русских, что лишний раз подтверждает её пограничное, культурно-смешанное происхождение. Русские крестьяне, жившие по соседству с башкирами или казахами, могли перенять прозвище от соседей, и наоборот.

Известных исторических личностей с этой фамилией в открытых источниках не зафиксировано, что типично для фамилий, возникших из прозвищ в низовых слоях общества. Это не делает её менее ценной: наоборот, такие фамилии — живые свидетели давних межэтнических контактов и народной традиции имянаречения. Если ваши предки носили фамилию Сайгаш, скорее всего, они происходили из среды крестьян или казаков, где подобные прозвища были обычным делом.