Фамилия Сагаш — редкий случай, когда географический и языковой следы почти не расходятся. Скорее всего, её основа — тюркская, а точнее, казахская или ногайская. В тюркских языках «сагаш» (варианты: сагаш, сагас) означает «сорока». Прозвище Сорока в тюркской среде давали болтливому, крикливому или пёстро одетому человеку — примерно так же, как и в русской традиции, где фамилия Сорокин одна из самых распространённых.

Однако есть и другая версия. В некоторых диалектах «сагаш» могло быть вариантом слова «сакаш» — «борода» или «бородатый». Тогда прозвище относилось к внешности: обладатель густой или длинной бороды. Эта гипотеза слабее, потому что фонетический переход «к» в «г» в тюркских языках нерегулярен для данного корня, а вот «сорока» как прозвище зафиксирована в ономастике куда чаще.

Фамилия не имеет типичного русского суффикса — нет ни -ов, ни -ин. Это указывает на то, что она либо пришла в русский язык в уже готовом виде (как фамилия тюркского происхождения), либо принадлежит к немногочисленной группе «чистых» прозвищ, которые не переоформили по славянской модели. Встречается Сагаш преимущественно на юге России, в Поволжье и в регионах с компактным проживанием казахов и ногайцев — Астраханская область, Ставрополье, Калмыкия.

Словообразовательно фамилия проста: основа — прозвище, окончание — нулевое. Никакой морфологической игры, вся история в корне. Носители могли быть и кочевниками-скотоводами, и жителями оседлых аулов — прозвище не привязано к ремеслу, а к характеру или внешности. Сведений о дворянских родах с такой фамилией нет, и это неудивительно: Сагаш — фамилия народная, крестьянская или казачья, не попавшая в гербовники.