Фамилия Сагач — редкий пример, где географический и языковой следы почти наверняка ведут в одну точку, а вот значение исходного слова может раздвоиться. В отличие от большинства русских фамилий на -ов/-ев, форма Сагач (без суффикса притяжательности) указывает на прямое прозвище или на происхождение из западнославянских земель, где такие бессуффиксные фамилии — норма.

Корень здесь — «сага». В украинском, польском и белорусском языках «сага» — это не только скандинавское сказание, а вполне бытовое слово: «сага» (или «саг») означает «сажа», «копоть», а «сагач» — «сажотрус» или «чумазый, перепачканный сажей человек». Прозвище могли дать трубочисту, кузнецу или тому, кто постоянно возился с печным углём. В украинском языке есть и глагол «сагати» — «доставать, дотягиваться», но для фамилии эта версия менее правдоподобна: прозвища от глаголов обычно образуются через суффикс -ло (Сагайло), а не -ач.

Вторая, более спорная линия — тюркская. В тюркских языках (татарском, казахском, ногайском) «сагач» или «сакач» может означать «борода» или «с бородой». Однако для славянской среды это скорее случайное совпадение: фамилия Сагач встречается преимущественно в западноукраинских областях (Львовская, Тернопольская), в Польше и в меньшей степени у потомков переселенцев из этих регионов в Сибирь и на Дальний Восток. Тюркский след возможен, если носитель — потомок крещёного татарина или ногайца, но таких документированных случаев по этой фамилии нет.

Суффикс -ач в восточнославянских фамилиях — редкий. Он активнее работал в польской ономастике (типа Kowacz, Kopacz), а у русских чаще превращался в отчества на -ович. Поэтому Сагач — фамилия, которая почти не меняла форму: её не переделали в Сагачев, а оставили как есть. Это характерно для прозвищ, которые закрепились в документах в XVI–XVII веках, когда на западнорусских землях ещё не было жёсткой унификации фамилий по московскому образцу.

Если ваш предок — Сагач, скорее всего, он был человеком, чья профессия или внешность были связаны с сажей и углём: трубочист, кузнец, печник. Или же, что проще, просто очень чумазый мальчишка, получивший прозвище, которое потом стало родовым именем.