Фамилия Сайгина образована от прозвища Сайга, и корень у нее тюркский. Сайга (или сайгак) — это степное парнокопытное животное семейства полорогих, но напрямую связывать прозвище с охотой на него было бы поспешно. Куда правдоподобнее, что Сайгой в старину называли человека быстрого, стремительного, с резкой, порывистой манерой движения — за сходство с этим юрким степным зверем. Прозвище могли дать и резвому ребенку, и шустрому взрослому, и, возможно, хорошему бегуну.

Словообразовательная модель здесь простая и прозрачная: к основе Сайга добавили типичный русский притяжательный суффикс -ин, который указывает на принадлежность кому-то. Первоначально Сайгин означало «сын Сайги», «тот, кто из рода Сайги». Такой способ образования фамилий — один из самых распространенных в русской ономастике, но в данном случае он лег на восточную, тюркскую основу, что и делает фамилию любопытным примером культурного смешения.

Одно из ранних упоминаний прозвища зафиксировано в «Ономастиконе» С.Б. Веселовского: там записан Сайга Иван Андреевич Бутурлин, стольник, 1656 года. Это важная деталь: прозвище бытовало не в крестьянской среде, а среди служилого дворянства, что опровергает возможное предположение о его простонародном происхождении. Впрочем, это единичное свидетельство, и оно не говорит о том, что все носители фамилии Сайгины — потомки именно этого стольника. Скорее, оно показывает, что прозвище было в ходу в разных слоях общества.

Отдельного внимания заслуживает написание: фамилия Сайгина с ударением на втором слоге — это женская форма, а мужская будет Сайгин. Встречается также вариант с буквой «о» — Сойгина, но он восходит к другому корню и к данной фамилии отношения не имеет. География распространения фамилии широкая, но чаще она встречается в Поволжье и на Урале, где исторически было сильное тюркское влияние, что косвенно подтверждает ее восточные истоки.

Если коротко: фамилия Сайгина — это памятник тому, как тюркское прозвище, данное за живость и быстроту, органично встроилось в русскую фамильную систему через суффикс -ин. Никакого тайного смысла или благородного звериного тотема здесь нет — только меткое наблюдение предков за характером человека.