Фамилия Сергашова — женская форма, мужская — Сергашов. Это типичная русская фамилия, образованная с помощью патронимического суффикса -ов, который указывает на принадлежность («чей?» — сын Сергаша). В основе лежит прозвище или нецерковное имя Сергаш.

Корень здесь — «серг-», который восходит к крестильному имени Сергей. В русской народной традиции имя Сергей часто сокращали и переделывали: Сергун, Сергута, Сергач. Форма Сергаш возникла как обиходный, «домашний» вариант. Суффикс -аш в именах и прозвищах характерен для северных и центральных говоров (сравните: Гриша от Григорий, Паша от Павел, Сергаш от Сергей). Таким образом, Сергаш — это человек по имени Сергей, но названный не официально, а по-свойски, в кругу семьи или деревни.

Вторая версия, менее вероятная, но возможная в отдельных диалектах: связь с глаголом «сергаться» (ссориться, браниться). В таком случае Сергаш — прозвище сварливого, задиристого человека. Однако ономастика чаще отдает предпочтение модели от имени, поскольку прозвища от глаголов с суффиксом -аш в этой форме встречаются реже.

Фамилия Сергашов (Сергашова) оформилась в XV–XVII веках, когда на Руси закрепилась модель «прозвище + -ов» для обозначения потомков. Географически фамилия тяготеет к Поволжью и некоторым районам Центральной России. Встречается она нечасто, что говорит о локальном происхождении: вероятно, родоначальник был известен в пределах одного уезда или волости.

Интересная деталь: в написании фамилии возможна путаница с похожей фамилией Сергачёв. Разница в суффиксе: -ов против -ёв. Сергачёв образован от прозвища Сергач, которое тоже может быть производным от Сергея, но через другую модель. Сергашов же сохранил более редкую уменьшительную форму имени. Если ваши предки носили фамилию Сергашовы, скорее всего, они происходили из крестьянской или мещанской среды, где такие «домашние» имена передавались детям как официальные фамилии.