Фамилия Шереметинская — вариант женского рода от мужской Шереметинский, и её происхождение почти наверняка связано с географическим названием. В отличие от распространённых фамилий на -ов/-ин, которые часто образовывались от имени или прозвища отца, суффикс -ский указывает на дворянскую или шляхетскую модель именования по владению землёй или по месту жительства. Однако не стоит сразу искать родовое поместье: в XIX веке такие фамилии массово давали в духовных училищах и семинариях, где будущим священникам меняли простонародные фамилии на «благородные» по названию села или храма.

Основа «Шереметин-» явно восходит к имени или прозвищу Шеремета. Здесь возможна связь со знаменитым боярским родом Шереметевых, но не прямая: Шереметинский — это скорее «выходец из владений Шереметевых» или «житель села, принадлежавшего Шереметеву». Таких сел и деревень в центральной России было немало, например, Шереметьево в Московской и Тамбовской губерниях. При этом суффикс -ин- в основе (Шерем-ет-ин-ский) указывает на притяжательное значение: «относящийся к Шеремете». Само прозвище Шеремета, по версии лингвиста Б. Унбегауна, могло происходить от тюркского «шерим» (дорогой, милостивый) или от диалектного русского «шереметный» — бойкий, резвый, вспыльчивый.

Таким образом, носитель фамилии Шереметинский — это, скорее всего, либо потомок крестьянина из села Шереметьево, либо выходец из духовного сословия, получивший фамилию при поступлении в семинарию. Второй вариант даже вероятнее: в XIX веке в семинарских списках фамилии на -ский встречаются очень часто, и их давали по названию родного прихода или по фамилии помещика, на чьей земле стояла церковь. Если ваши предки были священниками или дьячками, корни фамилии стоит искать в метрических книгах церквей, расположенных в бывших вотчинах Шереметевых. Фамилия редкая, и её география, скорее всего, ограничена центральными губерниями России, где были земли этого боярского рода.