Фамилия Шеримет звучит необычно для русского уха, и это первый ключ к её происхождению. Скорее всего, перед нами не славянская, а тюркская фамилия, которая прошла через русскую письменную традицию и получила окончание, типичное для русских фамилий — нулевое (как у фамилий на согласный).

Самый вероятный источник — тюркское личное имя или прозвище Шеримет. В основе лежит арабское слово «шериф» (شريف) — «благородный», «знатный», «почтенный». В тюркских языках, особенно у крымских татар, казахов, ногайцев, это имя трансформировалось в формы вроде Шерим, Шеримет, Шеримбет. Добавление компонента «-мет» (от арабского «Мухаммад» или тюркского «бек/бет» — «князь», «господин») — распространённый способ образования составных имён в исламской традиции. Таким образом, Шеримет можно перевести как «благородный господин» или «почтенный Мухаммад».

В русском языке фамилия закрепилась без дополнительного суффикса (в отличие от Шериметов или Шериметев). Это указывает на то, что её принесли в Россию либо выходцы из тюркской среды, которые не русифицировали окончание, либо она была записана в документах именно в такой форме. Встречается фамилия в Поволжье, на Северном Кавказе и в южных регионах — там, где исторически сильны тюркские и мусульманские влияния.

Любопытно, что фамилия Шереметев, известная по русской истории, имеет совсем другую этимологию — её связывают с тюркским «шеримет» (тот же корень «шериф»), но с добавлением русского патронимического суффикса -ев. Шеримет же — более редкий, «чистый» вариант, сохранивший исходную форму прозвища. Если ваши предки носили фамилию Шеримет, они могли быть служилыми татарами, казаками или купцами из тюркской среды, которые перешли на русскую службу или жили в смешанных районах. Никаких документальных подтверждений о принадлежности к дворянству или определённому сословию у этой фамилии нет — она осталась в народной среде.