Фамилия Шивырева — женская форма, а мужская, Шивырев, образована по стандартной русской модели с суффиксом -ев. Этот суффикс указывает на принадлежность: Шивырев буквально означал «сын Шивыря» или «человек из рода Шивыря». Основа здесь — прозвище или нецерковное имя Шивырь, которое и стало ключом к происхождению.

Самая прямая версия связывает Шивыря с диалектным глаголом «шивырять» — в русских говорах это слово означало «бросать, кидать, швырять». Человек с таким прозвищем мог получить его за резкие, размашистые движения, за манеру небрежно обращаться с вещами или даже за вспыльчивый нрав. Второй, менее очевидный, но тоже возможный вариант — связь с «шиверой»: в некоторых областях так называли мелкий кустарник или сорную траву. Тогда прозвище Шивырь могло достаться человеку, живущему в зарослях, или крестьянину, чьё поле было засорено.

Фамилия Шивырев встречается в основном в центральных и северных регионах России, особенно в Вологодской и Костромской областях. Это зона бытования северорусских говоров, где слово «шивырять» было в ходу. В старых писцовых книгах XVII века можно найти записи о крестьянах по фамилии Шивырев — все они относятся к податным сословиям, к крестьянам или посадским людям. Дворянских родов с такой фамилией в дореволюционных родословных книгах нет, что подтверждает её «народное» происхождение.

С точки зрения словообразования фамилия Шивырев стоит в одном ряду с такими, как Швырёв (от «швырять») или Шибанов (от «шибать» — бить, кидать). Все они описывают человека через его действие или манеру поведения, что типично для русского ономастикона. Ударение в фамилии, скорее всего, падает на второй слог: Шивы́рев.