Фамилия Синтёнков — редкий случай, когда географическая привязка оказывается надёжнее лексического разбора. Если сразу отбросить версию о связи с заимствованным корнем «синт» (от греческого «синтез» или французского «sainte»), которая для крестьянской фамилии маловероятна, остаётся один путь: искать в основе русское диалектное слово или прозвище. И здесь ключ — суффикс -ёнк-, характерный для восточноукраинских и южнорусских земель (Брянщина, Курщина, бывшая Слобожанщина). В этих краях -ёнко превращалось в -ёнков при русификации фамилий в XIX веке, когда писарям было привычнее ставить окончание -ов. Так что Синтёнков — это бывший Синтёнко, а тот, в свою очередь, — потомок человека по прозвищу Синтёнок.

Само прозвище, скорее всего, образовано от диалектного глагола «синтить» или «сентить» — в курских и орловских говорах так говорили про нудное, назойливое действие: «синтить над ухом» значило канючить, выпрашивать, надоедать. Синтёнком могли прозвать ребёнка, который постоянно приставал с просьбами, или взрослого, склонного к ворчливым монологам. Суффикс -ёнок здесь уменьшительно-уничижительный, как в фамилиях Глупёнков, Кислёнков, Кривёнков — он подчёркивал не столько возраст, сколько характерную черту. Менее вероятна связь с «синий» (синенький → Синтёнок) — тогда ожидалась бы форма Синьков или Синенков, без твёрдого «т». Версия с именем Синт (редкая форма от Силантий или Авксентий) тоже возможна, но не подтверждена источниками.

Важно, что фамилия почти не встречается за пределами бывшей Курской губернии и прилегающих районов Украины. Если ваш предок был Синтёнковым, он с большой вероятностью происходил из однодворцев — особого сословия, занимавшего промежуточное положение между крестьянами и мелкими помещиками. Однодворцы часто носили фамилии на -ов с характерными южнорусскими суффиксами, и их прозвища нередко отражали бытовые, а не социальные черты. Так что за неблагозвучным на первый взгляд корнем стоит живая речевая деталь: предка, видимо, запомнили как человека, который умел «синтить» — настойчиво добиваться своего, пусть и не всегда приятным способом.