Фамилия Сивидов — редкий случай, где в основе лежит не имя и не профессия, а, скорее всего, прозвище, связанное с цветом или внешностью. Разберёмся по порядку.

Самая прямая и правдоподобная версия отсылает к прилагательному «сивый» — так в старину называли серый, пепельный цвет, чаще всего волос. Сивым могли прозвать человека, рано поседевшего, или того, у кого от природы были светлые, почти белые волосы. В говорах «сивый» применяли и к животным — сивая лошадь, сивый мерин, — но по отношению к человеку это почти всегда указывало на возраст или болезненную бледность. Отсюда же фамилии Сивов, Сиваков, Сивцов — Сивидов стоит в этом ряду, но с другим суффиксом.

Суффикс -ов в фамилии Сивидов — стандартный патронимический, он отвечает на вопрос «чей?» и означает «сын Сивида». Но вот имя Сивид — неканоническое, его нет в святцах. Скорее всего, это усечённая форма прозвища Сивый, переоформленная по модели имён на -ид (как Филипп — Филиппид, но в народной речи). В русских говорах встречалось имя Сивила, но это совсем другая история — от латинского «сивилла» (прорицательница). Для мужской фамилии Сивидов такое объяснение маловероятно.

Есть и вторая, менее очевидная версия. В некоторых диалектах «сивидь» или «сивид» означало нечто хлипкое, жидкое или сырое — например, болотистую почву. Если предок жил в сырой низине или имел слабое здоровье, его могли прозвать Сивидом. Однако эта гипотеза слабее: корень «сив-» в значении «серый» гораздо распространённее, и фамилия Сивидов логично вписывается в гнездо «сивых» фамилий.

Географически фамилия тяготеет к южнорусским и украинским территориям — встречается в Воронежской, Курской, Ростовской областях, а также на Кубани. В центральных и северных губерниях она редка.

Особенность написания: в дореволюционных документах можно встретить вариант «Сивидовъ» или, реже, «Сѣвидов» (с «ять»). Но это скорее исключение — фамилия не настолько древняя, чтобы иметь устойчивую дореформенную форму.

Итог: ваш предок, скорее всего, был светловолосым или седым человеком, которого в деревне прозвали Сивым, а его детей уже записали как Сивидовых. Никакой тайны — просто меткая народная примета, закреплённая в фамилии.