Фамилия Сливкайте звучит не по-русски, и это верная зацепка. Перед нами типично литовская фамилия с характерным суффиксом -айт (-aitė). В русской передаче она часто теряет окончание женского рода, но в оригинале, скорее всего, выглядит как Slivkaitė. Если же носитель — мужчина, то его фамилия в литовском варианте была бы Slivka, а Сливкайте — это форма, указывающая на незамужнюю женщину или дочь.

Разбираем основу. Корень «слив-» (liet. slyva) означает «слива». В славянских языках это слово тоже широко распространено, но в литовском оно заимствовано и звучит почти так же. Прозвище Слива мог получить человек, выращивавший сливы, торговавший ими или даже внешне напоминавший этот плод (например, круглолицый или смуглый). В Литве такие прозвища были часты, и от них образовывали фамилии с помощью патронимического суффикса -aitis (для мужчин) и -aitė (для женщин). То есть Сливкайте буквально значило «дочь Сливы».

Географически фамилия сосредоточена в Литве, особенно в Жемайтии и Аукштайтии. В России, Беларуси или Польше она встречается редко и почти всегда указывает на литовские корни семьи или на миграцию в XIX–XX веках. В метрических книгах XIX века такую фамилию можно найти у крестьян, реже — у мещан, так как литовские фамилии на -айт/-айтė были массово закреплены именно за крестьянским сословием после отмены крепостного права.

Интересная деталь: в литовском языке существует и фамилия Slyvka (Сливка), и её женский вариант Slyvkaitė. Разница в написании — с «ы» или «и» — зависит от диалекта и от того, как фамилию записывали в польских или русских документах. Если вы встретили вариант Сливкайте, а не Слывкайте, то, скорее всего, это запись через русскую «и», которая передаёт литовское «y» не совсем точно.

Коротко: фамилия — чисто литовская, образована от прозвища Слива (по роду занятий или внешности), суффикс -айт указывает на женскую линию или дочь. Предки — литовские крестьяне, жившие в деревне и, вероятно, связанные с садоводством.