Фамилия Сливко чаще всего образована от прозвища Слива, а оно, в свою очередь, — от названия дерева и плода. Здесь сработала древняя традиция: давая ребёнку «растительное» прозвище, родители как бы поручали природу заботиться о нём, надеялись, что к малышу перейдут качества, приписываемые сливе, — сочность, жизненная сила, плодовитость. Это одна из самых естественных и распространённых моделей для русских фамилий, и в данном случае она выглядит наиболее правдоподобной.

Но у прозвища Слива есть и другая версия, связанная с глаголом «сливать». В этом случае прозвище могло закрепиться за человеком, чьё занятие было связано с переливанием жидкостей, — например, за торговцем молочными продуктами, который сливал молоко или сметану. Эта гипотеза менее очевидна, но тоже имеет право на существование, особенно если учесть, что в старых говорах «сливами» иногда называли не только плоды, но и нечто, что можно слить или что образуется при сливе.

Есть и третий, географический след. Основой фамилии могло стать название населённого пункта — польского города Сливно, болгарского Сливена или какого-либо другого места с однокоренным названием. В этом случае прозвище Слива указывало бы на выходца из этих мест. Однако для русской почвы такая версия встречается реже: суффикс -ко, характерный для украинских и южнорусских фамилий, чаще цеплялся к прозвищам, а не к названиям чужих городов.

Сам суффикс -ко в фамилии Сливко — важная деталь. Он типичен для украинской и белорусской традиции и указывает на уменьшительно-ласкательную форму или на принадлежность к роду: Сливко — это «сын Сливы» или «маленький Слива». Такая модель активно работала в XVI–XVII веках, когда фамилии на -ко массово закреплялись у казаков, мещан и крестьян на землях современной Украины и юга России.

Прозвище Слива, изначально присоединённое к наследственному имени, со временем полностью заменило его — и в повседневной жизни, и в официальных документах. Так потомки человека по прозвищу Слива стали писаться Сливко, и эта форма закрепилась как родовая.

Итоговая картина такая: перед нами фамилия с прозрачной основой, но с несколькими возможными путями возникновения. Самая вероятная — «растительная», через прозвище от названия плода. Версия с глаголом «сливать» — вторая по силе, а географическая — скорее экзотическая, но полностью исключать её нельзя.