Фамилия Слышнкова — женская форма фамилии Слышнков. Она встречается редко, и её происхождение не лежит на поверхности. Разберём, как она могла появиться.

Основа фамилии — «слышн-», что сразу отсылает к глаголу «слышать» или прилагательному «слышный» (в диалектах — «громкий, звонкий, различимый на слух»). Но напрямую «слышный» — не самое типичное прозвище. Скорее всего, перед нами не прозвище, а фамилия, образованная от редкого нецерковного имени, которое могло звучать как Слышн или Слышко. Такие имена давали в древности по «внешнему» признаку: например, человеку с хорошим слухом или, наоборот, глуховатому (по принципу противоположности, когда Некрасом называли красивого). Вторая версия — фамилия могла произойти от прозвища Слышный, которое давали крикуну, глашатаю или человеку, который любил подслушивать.

Суффикс -к- в основе (Слышн-к-ов) указывает на уменьшительную или уничижительную форму. То есть изначально было имя Слышко или Слышнка — так в быту могли называть носителя прозвища. Суффикс -ов в окончании — стандартный русский патроним, означающий «сын Слышка» или «потомок Слышного». Таким образом, Слышнков — это «чей?» — сын человека по имени или прозвищу Слышко.

Фамилия явно не дворянская и не искусственная (семинарская). Она относится к крестьянскому или посадскому сословию, где прозвища часто образовывались от бытовых особенностей. Географически фамилия могла закрепиться в северных или центральных губерниях России, где диалектное слово «слышный» было в ходу. Встречаются варианты написания через «а» — Слышнаков, но это уже вторичное искажение.

Итог: Слышнкова — фамилия от прозвища или имени Слышко, связанного со слухом. Предок носителя, вероятно, был либо обладателем острого слуха, либо, по иронии, плохо слышащим человеком. Точнее сказать трудно — фамилия редкая, и письменных источников по ней почти нет.