Фамилия Слюнькова — женская форма от Слюньков, а тот в свою очередь образован от прозвища Слюнька. В русских фамилиях суффикс -к- часто указывает на уничижительный или уменьшительный оттенок: так называли человека с заметной особенностью. Основа здесь — «слюна», «слюни». Прозвище Слюнька могли дать либо младенцу, который много пускал слюни (в народе это считалось признаком скорого прорезывания зубов), либо взрослому с неопрятным ртом или привычкой сюсюкать, говорить невнятно. В словаре русских фамилий Б. Унбегауна подобные прозвища относят к «физиологическим» — прямым и не всегда лестным, но в крестьянской среде их давали без злого умысла, по первому впечатлению.

Интересно, что фамилия Слюньков встречается в южнорусских и украинских областях чаще, чем в северных. Это связано с диалектным употреблением слова «слюни» вместо литературного «слюна» — на юге оно было более ходовым. В старых писцовых книгах XVII века можно найти упоминания крестьян Слюнькиных, но форма на -ов закрепилась позже, в XVIII—XIX веках, когда фамилии стали обязательными для всех сословий. Слюнькова — не дворянская фамилия, а типичная крестьянская или мещанская, образованная от бытового прозвища.

Сравните с однокоренными: Слюняев (от «слюняй» — неряха), Слюнкин (от «слюнка» — ласкательное). Слюньков стоит особняком из-за суффикса -ьк-, который вносит значение не столько ласки, сколько ироничного уменьшения. Если ваш предок был Слюнька, его вряд ли дразнили за глаза — скорее, так закрепилось домашнее прозвище, которое потом перешло в официальный документ. В современных базах фамилия Слюнькова редкая, встречается в основном в Воронежской, Ростовской областях и на Кубани — то есть там, где украинское влияние смешалось с русским говором.