Фамилия Солоаьева — редкий случай, когда написание расходится с привычным звучанием. Скорее всего, перед нами вариант фамилии Соловьёва, записанный на слух или через диалект. В русских говорах, особенно северных и сибирских, «о» в безударной позиции произносилось отчётливо, а «вьё» могло упроститься до «вье» или даже «аье». Так и возникла форма Солоаьева — без мягкого знака и с «а» на месте «ьё».

Основа фамилии — птица соловей. В старину прозвище Соловей давали не только за хороший голос. Чаще так называли человека с весёлым нравом, любителя поговорить или, напротив, того, кто «заливался» при разговоре — говорил быстро и витиевато. В документах XVI–XVII веков встречаются крестьяне и посадские люди с таким прозвищем, и фамилии от него образовывали по стандартной модели: Соловей → Соловьёв (чей? — сын Соловья). В случае Солоаьева суффикс тот же — -ев, но корень претерпел фонетическое изменение.

Обратите внимание на окончание -а. Это женская форма фамилии, то есть «Солоаьева» — фамилия женщины. Для мужчины правильным будет вариант Солоаьев, хотя в быту он встречается редко. Такие «окающие» написания типичны для Вологодской, Архангельской и Кировской областей, где безударное «о» не редуцировалось. Если ваши предки оттуда, фамилия могла закрепиться в документах именно в таком виде — как слышали писарь или чиновник.

Словообразовательно фамилия проста: прозвище + патронимический суффикс -ев. Никакой сложной морфологии или редких суффиксов тут нет. Интерес представляет только орфография, которая сохранила живое произношение XIX — начала XX века. В современных базах данных фамилия Солоаьева встречается единично, что подтверждает её локальный и случайный характер — это не самостоятельная фамилия, а диалектный вариант более распространённой Соловьёвой.