Фамилия Солодягин образована от прозвища Солодяга, и корень здесь — не имя и не географическое название, а нарицательное слово, причем с довольно неожиданным значением. В словарях «солодягой» называли род вареного, корчажного месива, которое готовили для лошадей. Проще говоря, это была густая похлебка или заварное кормовое месиво. Логично предположить, что прозвище Солодяга закрепилось за человеком, который такое месиво готовил или, что не менее вероятно, кормил им лошадей. Это делает фамилию не просто «прозвищной», а указывающей на конкретное, будничное занятие предка, связанное с уходом за скотиной.

Однако есть и вторая, более распространенная версия, которую ономасты обычно ставят на первое место. Она выводит прозвище из слова «солод» — проросшего и высушенного зерна со сладковатым привкусом. Солод в прошлом был ценным продуктом: его добавляли в тесто для выпечки и, что особенно важно, использовали для варки пива. Если принять эту версию, то прозвище Солодяга попадает в разряд «профессиональных» именований, которые прямо указывали на род занятий. Основатель рода мог быть пивоваром, солодовником или поваром, который активно использовал солод в своем деле.

Суффикс -яг- в прозвище придает слову несколько фамильярный, бытовой оттенок. В русских говорах такие формы нередко несли ироничную или даже уничижительную окраску. Поэтому нельзя исключать и третьего, более простого толкования: Солодягой в насмешку могли назвать человека праздного, любителя «сладкого житья», который, по мнению окружающих, больше гож для того, чтобы есть солод, чем для серьезной работы. Впрочем, эта версия выглядит менее убедительной, чем две предыдущие, и вряд ли стоит на ней настаивать.

Как бы то ни было, прозвище оказалось живучим. Оно закрепилось за человеком как основное именование, а затем, по обычной для русского языка модели, дало начало фамилии. Притяжательный суффикс -ин указывает на принадлежность: Солодягин буквально означает «сын Солодяги» или «человек из рода Солодяги».

Фамилия не была распространена в столицах, а бытовала преимущественно на Русском Севере и в северо-западных губерниях. Это подтверждают и документальные записи начала XX века: в метрических книгах встречаются Солодягин Алексей Анисимович, родившийся в 1859 году в деревне Ивановская Няндомского района, и Солодягин Андрей Александрович, родившийся в 1883 году в деревне Великий Двор Ленинградской области. Такая география хорошо согласуется с «солодовой» версией: на севере, где хлебопашество было трудным, а пивоварение — привычным делом, прозвища, связанные с едой и кормом, встречались особенно часто.