Фамилия Сребряный — редкий случай, когда прозвище или мирское имя не успело пройти через суффиксальную обработку и застыло в форме прилагательного. В русской ономастике это называется «окаменевшей формой»: основа — «сребро», то есть серебро (церковнославянский вариант, в отличие от древнерусского «серебро»), а окончание — «-ый» — указывает на признак. Носитель такой фамилии — не «чей-то сын», а сам по себе «серебряный». Это отличает Сребряного от гораздо более частых Серебряковых (суффикс -ов) или Серебренниковых (по профессии).

Откуда взялся такой признак? Первая и самая прямая версия — прозвище по цвету волос или бороды: седой, серебристый человек. Второй вариант — прозвище по характеру или достатку: «серебряным» могли назвать либо зажиточного человека, либо, наоборот, иронично — бедняка, у которого «серебра» полный рот, то есть пусто. Третья, более редкая возможность — происхождение от географического названия вроде урочища Серебряный или речки Серебрянки, но в таком случае фамилия обычно получала суффикс -ский, а не -ый.

Написание через «е» (Сребряный) — книжное, церковное, и это важная деталь. В быту серебро называли «серебром», а форму «сребро» использовали в летописях, богослужебных текстах и при составлении документов в канцеляриях. Значит, предок Сребряного, скорее всего, имел дело с грамотными людьми — либо сам был из духовного сословия (где любили славянизмы), либо его прозвище записал грамотный дьяк, предпочитавший книжный вариант.

Словообразовательная модель «основа + -ый» в русских фамилиях встречается нечасто. Сравните с Толстым, Кривым, Белым — это всё прямые прозвища, которые стали фамилиями без дополнительных суффиксов. Сребряный стоит в том же ряду, но с редкой цветовой или качественной характеристикой. Никакого отношения к профессии серебряника (ювелира) фамилия не имеет — для этого существовала бы модель Серебряников или Серебреников.

В дореволюционных источниках фамилия фиксируется в основном в южнорусских и западнорусских губерниях, особенно на территориях, где было сильно влияние церковнославянского языка (например, в Киевской, Черниговской, Харьковской губерниях). Встречаются варианты с двойным «н» (Сребрянный), но это уже поздняя орфографическая путаница, не меняющая сути.