Фамилия Старковская — это женская форма фамилии Старковский, и именно в мужском варианте кроется ключ к её происхождению. В основе лежит либо прозвище Старко, либо фамилия Старков. Суффикс -ский указывает на то, что носитель (или предок) происходил из места, связанного с этим именем. В российской традиции фамилии на -ский чаще всего означали принадлежность к географическому объекту: деревне, усадьбе или местности. Соответственно, Старковский — это «тот, кто из владений Старка» или «прибывший из Старкова».

Прозвище Старко могло образоваться от прилагательного «старый» с уменьшительным суффиксом -ко. В славянской ономастике такие прозвища давали не обязательно пожилому человеку. Часто «Старым» или «Старком» называли мудрого, опытного, уважаемого крестьянина, либо, напротив, того, кто рано поседел или казался старше своих лет. Второй возможный корень — имя Старко как народная форма от христианского имени Стахий (в переводе с греческого «колос») или от редкого имени Стародуб. Однако версия с прозвищем «старый» более распространена и правдоподобна.

Фамилия Старковский (и её женская форма) — относительно редкая. Она могла возникнуть в среде польской или западнорусской шляхты, где фамилии на -ский были типичны для дворянства, обозначая владельческое село. В XIX веке такие фамилии получили и простые крестьяне, переселившиеся из одной деревни в другую, или выпускники духовных семинарий, которым часто давали «благородные» фамилии на -ский. Если предки Старковских были духовного звания, то фамилию могли образовать от названия церковного праздника (например, Старо-Вознесенский) или от фамилии благодетеля, но в данном случае основа «Старк» указывает на прозвище, а не на религиозный контекст.

Особенность фамилии — её выраженный территориальный оттенок. Встречаются топонимы Старково, Старковка, Старковская, которые разбросаны по всей России, от Архангельской области до Сибири. Именно от названия одного из таких селений и могла произойти фамилия. Если ваш предок носил фамилию Старковский, то, скорее всего, он был либо потомком мелкопоместного дворянина из западных губерний, либо крестьянином, переселившимся из деревни Старково, либо выходцем из духовного сословия, которому дали фамилию по месту службы.

С точки зрения словообразования, фамилия Старковская стоит в ряду таких же «указательных» фамилий, как Ивановский, Петровский, Горский. Она не несёт в себе прямого указания на профессию или внешность, а скорее говорит о происхождении человека из определённого рода или места. В современном бытовании женская форма Старковская закрепилась как паспортная, хотя исторически правильнее было бы называть дочь Старковской, а жену Старковского — Старковской же (в русской традиции формы для замужней и незамужней женщины часто совпадали).